微分について（differential）

• 微分について（differential）
  • 微分の定義
  • 微分をツールとして機械的に用いる場合は公式を活用する
    • $n$ 次関数の微分
      • 証明
        • $n$ が自然数の場合の証明
    • 合成関数の微分
      • 考え方
      • （例題）
    • 積の微分・商の微分
      • 積の微分の考え方
      • 商の微分の考え方
  • 多変数における微分
    • 偏微分
  • 参考文献

微分の定義

微分とはごく微かにxが変化した際のyの変化量を調べるものである

$${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{d}{dx}}f\left(x\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}}$$

微分をツールとして機械的に用いる場合は公式を活用する

$n$ 次関数の微分

$${\displaystyle \frac{d}{dx}}{x}^n=n{x}^{(n-1)}$$

証明

$n$ が自然数の場合の証明

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{d}{dx}}{x}^n& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{(x+\mathrm{\Delta }x)}^n-x^n}{\mathrm{\Delta }x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sum _{k=0}^n\left({}_n{\mathrm{C}}_k{x}^{n-k}\mathrm{\Delta }{x}^k\right)-x^n}{\mathrm{\Delta }x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_0{x}^n\mathrm{\Delta }{x}^0+{}_n{\mathrm{C}}_1{x}^{n-1}\mathrm{\Delta }{x}^1+{}_n{\mathrm{C}}_2{x}^{n-2}\mathrm{\Delta }{x}^2+\dots +{}_n{\mathrm{C}}_n{x}^0\mathrm{\Delta }{x}^n-x^n}{\mathrm{\Delta }x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x^n+n{x}^{n-1}\mathrm{\Delta }x+{}_n{\mathrm{C}}_2{x}^{n-2}\mathrm{\Delta }{x}^2+\dots +\mathrm{\Delta }{x}^n-x^n}{\mathrm{\Delta }x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{n{x}^{n-1}\mathrm{\Delta }x+{}_n{\mathrm{C}}_2{x}^{n-2}\mathrm{\Delta }{x}^2+\dots +\mathrm{\Delta }{x}^n}{\mathrm{\Delta }x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}n{x}^{n-1}+{}_n{\mathrm{C}}_2{x}^{n-2}\mathrm{\Delta }{x}^{2-1}+\dots +\mathrm{\Delta }{x}^{n-1}\end{array}$$

$\mathrm{\Delta }x$ が乗算されている項は極限を考えると $0$ になることより

$$\begin{array}{rl}& =n{x}^{n-1}\end{array}$$

合成関数の微分

考え方

外の微分、中の微分と覚えると良い。

$y=fg(x)$ において $g(x)=u$ とおくと、${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ は ${\displaystyle \frac{dy}{du}}{\displaystyle \frac{du}{dx}}$ と考えることができる。

（例題）

次式を微分する。

$$y=(x^2+x+1{)}^3$$

$u=x^2+x+1$ とおくと外は「 $u^3$ 」、中は「 $x^2+x+1$ 」となる。

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{dy}{dx}}& ={\displaystyle \frac{dy}{du}}{\displaystyle \frac{du}{dx}}\\ & =3u^2(2x+1)\\ & =3(x^2+x+1{)}^2(2x+1)\end{array}$$

積の微分・商の微分

積の微分は $f(x)g(x)$ 、商の微分は ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ と表す。

積の微分の考え方

$$h(x)=f(x)g(x)$$

とすると微分の定義より、

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{d}{dx}}h(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x)}{\mathrm{\Delta }x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)+f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x)}{\mathrm{\Delta }x}}& & (\mathrm{同}\mathrm{じ}\mathrm{値}\mathrm{を}\mathrm{引}\mathrm{い}\mathrm{て}\mathrm{足}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{い}\mathrm{る})\end{array}$$

ここで $f(x)$ および $g(x)$ の微分の定義を考えると、

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{d}{dx}}f(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}}\\ {\displaystyle \frac{d}{dx}}g(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}}\end{array}$$

これにより、

$$\begin{array}{rl}& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)+f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x)}{\mathrm{\Delta }x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)[f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)]+f(x)[g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)]}{\mathrm{\Delta }x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}[g(x+\mathrm{\Delta }x){\displaystyle \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}}+f(x){\displaystyle \frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}}]\\ & =g(x){\displaystyle \frac{d}{dx}}f(x)+f(x){\displaystyle \frac{d}{dx}}g(x)\end{array}$$

商の微分の考え方

${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ は $f(x)[g(x{)}^{-1}]$ と表すことができ、積の微分として考えることができる。

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{d}{dx}}\{f(x){[g(x)]}^{-1}\}& =f^{\prime }(x){[g(x)]}^{-1}+f(x){[g(x{)}^{-1}]}^{\prime }\\ & =f^{\prime }(x)g(x{)}^{-1}+f(x)-1\cdot {[g(x)]}^{-2}\cdot g^{\prime }(x)\\ & ={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g(x)}}-{\displaystyle \frac{f(x)g^{\prime }(x)}{{[g(x)]}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)g(x)}{g(x)g(x)}}-{\displaystyle \frac{f(x)g^{\prime }(x)}{{[g(x)]}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{{[g(x)]}^2}}\end{array}$$

多変数における微分

偏微分

$\partial$ という記号を用いて表す。これはパーシャルと読む。

${\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}}$ は $y$ を $x$ で偏微分するということを示している。

参考文献

• 西内 啓 (著)『統計学が最強の学問である[数学編]――データ分析と機械学習のための新しい教科書』