微分について（differential）

微分の定義

微分とはごく微かにxが変化した際のyの変化量を調べるものである

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}f\left( x\right) =\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0 }\dfrac{f\left( x+\Delta x\right) -f\left( x\right) }{\Delta x}\]

微分をツールとして機械的に用いる場合は公式を活用する

$n$ 次関数の微分

\[\dfrac{d}{dx}x^{n} = nx^{\left( n-1\right) }\]

証明

$n$ が自然数の場合の証明
\[\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}x^{n}&=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+\Delta x\right) -f\left( x\right) }{\Delta x} \\ &=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\left( x+\Delta x\right) ^{n}-x^{n}}{\Delta x} \\ &=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\sum ^{n}_{k=0}\left( {}_n\mathrm{C}_{k}x^{n-k}\Delta x^{k}\right) -x^{n}}{\Delta x} \\ &=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{ {}_n\mathrm{C}_{0}x^{n}\Delta x^{0}+{}_n\mathrm{C}_{1}x^{n-1}\Delta x^{1}+{}_n\mathrm{C}_{2}x^{n-2}\Delta x^{2}+\ldots +{}_n\mathrm{C}_{n}x^{0}\Delta x^{n}-x^{n}}{\Delta x} \\ &=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+ {}_n\mathrm{C}_{2}x^{n-2}\Delta x^{2}+\ldots +\Delta x^{n}-x^{n}}{\Delta x} \\ &=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{nx^{n-1}\Delta x+{}_n\mathrm{C}_{2}x^{n-2}\Delta x^{2}+\ldots +\Delta x^{n}}{\Delta x} \\ &=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}nx^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_{2}x^{n-2}\Delta x^{2-1}+\ldots +\Delta x^{n-1} \\ \end{aligned}\]

$\Delta x$ が乗算されている項は極限を考えると $0$ になることより

\[\begin{aligned} &=nx^{n-1} \end{aligned}\]

合成関数の微分

考え方

外の微分、中の微分と覚えると良い。

$y=f{g(x)}$ において $g(x)=u$ とおくと、$\dfrac{dy}{dx}$ は $\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$ と考えることができる。

（例題）

次式を微分する。

\[y=(x^2+x+1)^3\]

$u=x^2+x+1$ とおくと外は「 $u^3$ 」、中は「 $x^2+x+1$ 」となる。

\[\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx} \\ &= 3u^2(2x+1) \\ &= 3(x^2+x+1)^2(2x+1) \end{aligned}\]

積の微分・商の微分

積の微分は $f(x)g(x)$ 、商の微分は $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ と表す。

積の微分の考え方

\[h(x) = f(x)g(x)\]

とすると微分の定義より、

\[\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}h(x) &= \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{ f(x+\Delta{x})g(x+\Delta{x})-f(x)g(x) }{ \Delta{x} } \\ &= \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{ f(x+\Delta{x})g(x+\Delta{x}) {\color{red} -f(x)g(x+\Delta{x})+f(x)g(x+\Delta{x})} -f(x)g(x) }{ \Delta{x} }&&(同じ値を引いて足している) \end{aligned}\]

ここで $f(x)$ および $g(x)$ の微分の定義を考えると、

\[\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}f(x) &= \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{ f(x + \Delta{x}) - f(x) }{ \Delta{x} } \\ \dfrac{d}{dx}g(x) &= \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{ g(x + \Delta{x}) - g(x) }{ \Delta{x} } \end{aligned}\]

これにより、

\[\begin{aligned} &\quad \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{ f(x+\Delta{x}) {\color{red} g(x+\Delta{x})} -f(x) {\color{red} g(x+\Delta{x}) } + {\color{green} f(x)} g(x+\Delta{x}) - {\color{green} f(x)} g(x) }{ \Delta{x} } \\ &= \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{ {\color{red} g(x + \Delta{x}) } \left[ f(x+\Delta{x}) - f(x) \right] + {\color{green} f(x) } \left[ g(x+\Delta{x}) - g(x) \right] }{ \Delta{x} } \\ &= \lim _{\Delta x\rightarrow 0} \left[ g(x + \Delta{x}) \dfrac{ f(x+\Delta{x}) - f(x) }{ \Delta{x} } + f(x) \dfrac{ g(x+\Delta{x}) - g(x) }{ \Delta{x} } \right] \\ &= g(x)\dfrac{d}{dx}f(x) + f(x)\dfrac{d}{dx}g(x) \end{aligned}\]

商の微分の考え方

$\dfrac{f(x)}{g(x)}$ は $f(x)[g(x)^{-1}]$ と表すことができ、積の微分として考えることができる。

\[\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left\{ f(x) \left[ g(x) \right]^{-1} \right\} &= f'(x) \left[ g(x)\right]^{-1} + f(x) \left[ g(x)^{-1} \right]' \\ &= f'(x)g(x)^{-1} + f(x) -1 \cdot \left[g(x)\right]^{-2} \cdot g'(x) \\ &= \dfrac{ f'(x) }{ g(x) } - \dfrac{ f(x)g'(x) }{ \left[ g(x) \right]^2 } \\ &= \dfrac{ f'(x)g(x) }{ g(x)g(x) } - \dfrac{ f(x)g'(x) }{ \left[ g(x) \right]^2 } \\ &= \dfrac{ f'(x)g(x) - f(x)g'(x) }{ \left[ g(x) \right]^2 } \end{aligned}\]

多変数における微分

偏微分

$\partial$ という記号を用いて表す。これはパーシャルと読む。

$\dfrac{\partial{y}}{\partial{x}}$ は $y$ を $x$ で偏微分するということを示している。

参考文献