二項定理と二項分布（binomial theorem and binomial distribution）

• 二項定理と二項分布（binomial theorem and binomial distribution）
  • 二項定理
  • ベルヌーイ試行と二項分布
    • $(1)$ の証明
    • $(2)$ の証明

二項定理

下記の数式で表される定理のことです。

$$\begin{array}{rl}& {(x+a)}^n\\ =& {}_n{\mathrm{C}}_0{x}^0{a}^n+{}_n{\mathrm{C}}_1{x}^1{a}^{n-1}\cdots {}_n{\mathrm{C}}_n{x}^n{a}^0\\ =& \sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k{x}^k{a}^{n-k}\end{array}$$

これは各項の係数が組合せの公式 ${}n\mathrm{C}{k}$ に従うことを示しています。

ベルヌーイ試行と二項分布

以下が成り立つとき、これをベルヌーイ試行と呼びます。

• 一度の試行で「成功・失敗」のように2種類の事象だけが生じる
• これらの事象が独立
• これらの事象の確率が常に一定

コイン投げで考えます。

「表：1、裏：0」として、5回の試行について $x$ 回の表が出る確率は

$$f(x)={}_5{\mathrm{C}}_x(\frac{1}{2}{)}^5$$

となります。

あることの生じる確率が $p$ 、その回数を $x$ 回として一般化しますと

$$f(x)={}_n{\mathrm{C}}_x{p}^x(1-p{)}^{n-x}$$

となります。

この確率を二項分布と呼び、 $Bi(n,p)$ で表します。

そのほか、二項定理および $q=(1-p)$ より

$$\begin{array}{rl}\sum _{x=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_x{p}^x(1-p{)}^{n-x}& =(p+q{)}^n\\ & =\{p+(1-p){\}}^n\\ & =1^n\\ & =1\end{array}$$

と示すことができます。全確率が $1$ で、規格化の条件を満たしていることがわかります。

いま確率変数 $X$ が二項分布に従っているのであれば期待値、分数はそれぞれ

$$\begin{array}{rlrl}E(X)& =np& & (1)\\ V(X)& =np(1-p)& & (2)\end{array}$$

となります。

$(1)$ の証明

期待値は「とり得る値すべてにおける値とその確率の掛け合わせの総和」であるので、

$$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\sum _{x=0}^{n}x\cdot {}_n{\mathrm{C}}_x{p}^x{q}^{n-x}\\ & =0{}_n{\mathrm{C}}_0{p}^0{q}^{n-0}+\sum _{x=1}^{n}x\cdot {}_n{\mathrm{C}}_x{p}^x{q}^{n-x}\\ & =0+\sum _{x=1}^{n}x\cdot {}_n{\mathrm{C}}_x{p}^x{q}^{n-x}\\ & =\sum _{x=1}^{n}n\cdot {}_{n-1}{\mathrm{C}}_{x-1}\cdot p\cdot p^{x-1}{q}^{n-x}\\ & =np\sum _{x=1}^n{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{x-1}{p}^{x-1}{q}^{n-x}\\ & =np\sum _{x=1}^n{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{x-1}{p}^{x-1}{q}^{n-x-1+1}\\ & =np\sum _{x=1}^n{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{x-1}{p}^{x-1}{q}^{n-1-(x-1)}\end{array}$$

ここで、 $y=x-1,m=n-1$ とおくと

$$\begin{array}{rl}& =np\sum _{y=0}^{n-1}{}_{n-1}{\mathrm{C}}_y{p}^y{q}^{n-1-y}\\ & =np\sum _{y=0}^m{}_m{\mathrm{C}}_y{p}^y{q}^{m-y}\\ & =np\sum _{y=0}^m{}_m{\mathrm{C}}_y{p}^y{q}^{m-y}\\ & =np\cdot 1\\ & =np\end{array}$$

$(2)$ の証明

分散の定義より

$$\begin{array}{rl}V(X)& =\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^{2}f(x_i)\\ & =\sum _{i=1}^N({x_i}^2-2x_i\mu +{\mu }^2)f(x_i)\\ & =\sum _{i=1}^N{x_i}^{2}f(x_i)-\sum _{i=1}^{N}2x_i\mu f(x_i)+\sum _{i=1}^N{\mu }^{2}f(x_i)\\ & =\sum _{i=1}^N{x_i}^{2}f(x_i)-2\mu \sum _{i=1}^N{x}_{i}f(x_i)+{\mu }^2\sum _{i=1}^{N}f(x_i)\\ & =E(X^2)-2\mu E(X)+{\mu }^2\cdot 1\\ & =E(X^2)-2[E(X){]}^2+[E(X){]}^2\\ & =E(X^2)+(-2+1)[E(X){]}^2\\ & =E(X^2)-[E(X){]}^2\end{array}$$

と変形できる。いま

$$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =\sum _{x=0}^n{x}^2{}_n{\mathrm{C}}_x{p}^x{q}^{n-x}\\ & =0^2{}_n{\mathrm{C}}_0{p}^0{q}^{n-0}+\sum _{x=1}^n{x}^2{}_n{\mathrm{C}}_x{p}^x{q}^{n-x}\\ & =0+\sum _{x=1}^n{x}^2\cdot {}_n{\mathrm{C}}_x{p}^x{q}^{n-x}\\ & =\sum _{x=1}^n(x^2-x+x)\cdot {}_n{\mathrm{C}}_x{p}^x{q}^{n-x}\\ & =\sum _{x=1}^n(x^2-x)\cdot {}_n{\mathrm{C}}_x{p}^x{q}^{n-x}+\sum _{x=1}^{n}x\cdot {}_n{\mathrm{C}}_x{p}^x{q}^{n-x}\\ & =\sum _{x=1}^n(x^2-x)\cdot {}_n{\mathrm{C}}_x{p}^x{q}^{n-x}+np\\ & =\sum _{x=1}^{n}x(x-1)\cdot {}_n{\mathrm{C}}_x\cdot p\cdot p\cdot p^{x-2}{q}^{n-x}+np\\ & =p^2\sum _{x=1}^{n}x(x-1)\frac{n!}{(n-x)!x!}{p}^{x-2}{q}^{n-x}+np\\ & =p^2\sum _{x=1}^{n}x(x-1)\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-x)!x(x-1)(x-2)!}{p}^{x-2}{q}^{n-x}+np\\ & =n(n-1)p^2\sum _{x=1}^n\frac{(n-2)!}{(n-x)!(x-2)!}{p}^{x-2}{q}^{n-x}+np\\ & =n(n-1)p^2\sum _{x=1}^n\frac{(n-2)!}{(n-x-2+2)!(x-2)!}{p}^{x-2}{q}^{n-x-2+2}+np\\ & =n(n-1)p^2\sum _{x=1}^n\frac{(n-2)!}{[n-2-(x-2)]!(x-2)!}{p}^{x-2}{q}^{n-2-(x-2)}+np\\ & =n(n-1)p^2\sum _{x=1}^n{}_{n-2}{\mathrm{C}}_{x-2}{p}^{x-2}{q}^{n-2-(x-2)}+np\\ & =n(n-1)p^2\sum _{x=1}^n{}_{n-2}{\mathrm{C}}_{x-2}{p}^{x-2}{q}^{n-2-(x-2)}+np\\ & =n(n-1)p^2+np\end{array}$$

分散の公式より

$$\begin{array}{rl}V(X)& =E(X^2)-[E(X){]}^2\\ & =n(n-1)p^2+np-(np{)}^2\\ & =n^2{p}^2-n{p}^2+np-n^2{p}^2\\ & =-n{p}^2+np\\ & =np(1-p)\end{array}$$