確率の基本（basics of probability）

用語まとめ

名称 英語名称 数学記号 説明
起こりうる結果 possible outcomes   ある試行においてとりうることが可能な値
標本点 sample point $\omega$ 起こりうる結果のひとつひとつのこと
標本空間 sample space $\Omega$ 標本点のすべての集合
事象 event   標本空間の部分集合
全事象 sure event $\Omega$ 標本空間と同じ
空事象 empty event $\phi$  
拝反事象 mutually exclusive events $A \cap B=\phi$ AとBが同時に起きない事象
和事象 union of events ${A}\cup{B}$ AとBの集合のうち少なくとも一方の事象が起きる事象
積事象 intersection of events ${A}\cap{B}$ AとBが同時に起きる事象
余事象 complement of an event $\overline{A}$ 事象Aが起こらないという事象
確率 probability $P(A)$ 事象Aが起こる確率
条件付き確率 conditional probability $P(A|B)$ Bの条件のもと事象Aが起こる確率

標本空間と事象について

コイン投げで考えます。

コインを1回投げた試行の結果を「裏：0、表：1」とおきます。

このとき、

標本空間は $\Omega={ {0,1}}$ となります。

事象は $\omega={0,1},{0},{1},\phi$ の4つとなります。

事象は「標本空間の部分集合」のことです。

${0,1}$ は $0$ もしくは $1$ が出た場合の部分集合と考えれば良いです。

事象に関する法則および性質

和事象・積事象の分配法則

\[\begin{aligned} ({A}\cap{B})\cup{C} &= ({A}\cup{C})\cap({B}\cup{C})\\ ({A}\cup{B})\cap{C} &= ({A}\cap{C})\cup({B}\cap{C}) \end{aligned}\]

ド・モルガンの法則

\[\begin{aligned} \overline{ {A}\cap{B}} = {\overline{A}}\cup{\overline{B}}\\ \overline{ {A}\cup{B}} = {\overline{A}}\cap{\overline{B}} \end{aligned}\]

加法定理

\[\begin{aligned} & P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap B\right)\\ & P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) & \cdots (A \cap B=\phi のとき) \end{aligned}\]

条件付き確率

ある事象 $A$ について別の事象 $B$ が起こったときの事象 $A$ が起こる確率を、 $B$ を条件とする $A$ の条件付確率といいます。

\[P\left( A | B\right) = \dfrac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }\]

乗法定理

条件付き確率の公式を組み替えると作れます。

\[P\left( A\cap B\right) = P\left( A | B\right) \cdot P\left( B\right)\]

独立性

ある事象 $A$ において別の事象 $B$ に事象 $A$ が起こる確率が左右されない場合、この二つの事象は独立しているといいます。

\[P\left( A | B\right) = P(A)\]

このとき乗法定理は下記となります。

\[P\left( A\cap B\right) = P(A) \cdot P\left( B\right)\]

参考文献