確率変数（random variables）

確率変数の定義

確率変数（random variable）

→ 取り得る値それぞれに対して確率が与えられている変数のこと

大文字を使って表します。

e.g. $X,Y$

確率は $P(X=x)$ で表します。

1〜6が出るサイコロで考えると、

\[P\left( X=1\right) =\dfrac{1}{6},P\left( X=2\right) =\dfrac{1}{6},\ldots ,P\left( X=6\right) =\dfrac{1}{6}\]

となります。

確率変数は2夕イプあります！

名称 英語名称 定義
離散型 discrete type サイコロの目など取り得る値が「1, 2, 3」ととびとびの値をとるものを指す
連続型 continuous type 長さ、重さなど取り得る値が「1.1, 1.10」といったように区切りがないものを指す

タイプにより表し方が異なります。

離散型（discrete type）

\[P\left( X=x_{i}\right) =f\left( x_{i}\right)\]

成立条件は下記です。

\[\begin{aligned} f\left( x_{i}\right) \geq 0\\ \sum ^{\infty }_{i=1}f\left( x_{i}\right) =1 & \cdots (全部足し合わせると1) \end{aligned}\]

連続型（continuous type）

\[\begin{aligned} P\left( a\leq X\leq b\right) =\int _{a}^{b}f\left( x\right) dx\\ \end{aligned}\]

成立条件は下記です。

\[\begin{aligned} f\left( x\right) \geq 0\\ \int ^{\infty }_{-\infty }f\left( x\right) dx=1 & \cdots (全部足し合わせると1) \end{aligned}\]

同時確率分布の定義

確率変数 $X$, $Y$ において、同時に $X=x$ かつ $Y=y$ の値をとる確率 $P$ を

\[P(X=x,Y=y)=f(x,y)\]

として、これを同時確率分布といいます。

周辺確率分布の定義

$X,Y$ の確率変数において、一方の値を固定した時に得られる $X,Y$ 単独の確率分布を周辺確率分布といいます。

\[\begin{aligned} g(x) = \sum_{i=1}^{N_Y}f(x,y_i) \\ h(y) = \sum_{i=1}^{N_X}f(x_i,y) \end{aligned}\]

e.g.

表裏のある2枚のコインA, Bを用意します。

表は $1$、裏は $0$ とします。

コインAは \(X={0,1}\) とおきます。

コインBはコインAの結果の値を足したものとします。

したがって、コインBは \(Y={0,1,2}\) となります。

このときの同時確率分布は下表となります。

$Y \backslash X$ $x_1$ $x_2$ $h(y)$
$y_1$ $\frac{1}{4}$ $0$ $\frac{1}{4}$
$y_2$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{2}{4}$
$y_3$ $0$ $\frac{1}{4}$ $\frac{2}{4}$
$g(x)$ $\frac{2}{4}$ $\frac{2}{4}$ $1$

ここで $g(x),h(y)$ が周辺確率分布を示しています。

平均・分散の性質

平均の性質

\[\begin{aligned} E(c) &= c &\quad\quad&\llap{(1.1)}\\ E(X + c) &= E(X) + c &&\llap{(1.2)}\\ E(cX) &= cE(X) &&\llap{(1.3)}\\ E(X + Y) &= E(X) + E(Y) &&\llap{(1.4)} \end{aligned}\]

分散の性質

\[\begin{aligned} V(c) &= 0 &\quad\quad&\llap{(2.1)}\\ V(X + c) &= V(X) &&\llap{(2.2)}\\ V(cX) &= c^{2}V(X) &&\llap{(2.3)} \end{aligned}\]

proof $(1.1)$

定数はばらつきのない値なので、期待値はそのままとなります。

proof $(1.2)$

\[\begin{aligned} E\left( X+c\right) &= \sum ^{n}_{i=1}\dfrac{\left( X_{i}+c\right) }{n}\\ &= \dfrac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}\left( X_{i}+c\right) \\ &= \dfrac{1}{n}\left\{ \left( X_{1}+c\right) +\left( X_{2}+c\right) +\ldots +\left( X_{n}+c\right) \right\} \\ &= \dfrac{1}{n}\left( X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}+nc\right) \\ &= \dfrac{X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}{n}+c\\ &= E\left( X\right) +c \end{aligned}\]

proof $(1.4)$

\[\begin{aligned} E\left( X+Y\right) &= \sum ^{N_X}_{i=1}\sum ^{N_Y}_{j=1}\left( x_{i}+y_{i}\right) f\left( x_{i},y_{j}\right)\\ &= \sum ^{N_X}_{i=1}\left\{ \sum ^{N_Y}_{j=1} x_{i} f \left( x_{i},y_{j}\right) + \sum ^{N_Y}_{j=1}y_{i} f \left( x_{i},y_{j} \right) \right\} \\ &= \sum ^{N_X}_{i=1}\left\{ x_{i} \sum ^{N_Y}_{j=1} f \left( x_{i},y_{j}\right) + \sum ^{N_Y}_{j=1}y_{i} f \left( x_{i},y_{j} \right) \right\} \\ &= \sum ^{N_X}_{i=1} x_{i} \sum ^{N_Y}_{j=1} f \left( x_{i},y_{j}\right) + \sum ^{N_X}_{i=1} \sum ^{N_Y}_{j=1} y_{i} f \left( x_{i},y_{j} \right) \\ &= \sum ^{N_X}_{i=1} x_{i} \sum ^{N_Y}_{j=1} f \left( x_{i},y_{j}\right) + \sum ^{N_Y}_{j=1}\sum ^{N_X}_{i=1} y_{i} f \left( x_{i},y_{j} \right) \\ &= \sum ^{N_X}_{i=1} x_{i} \sum ^{N_Y}_{j=1} f \left( x_{i},y_{j}\right) + \sum ^{N_Y}_{j=1} y_{i} \sum ^{N_X}_{i=1} f \left( x_{i},y_{j} \right) \\ \end{aligned}\]

周辺確率分布より

\[\begin{aligned} &= \sum ^{N_X}_{i=1} x_{i}g(x_i) + \sum ^{N_Y}_{j=1} y_{i}h(y_i) \\ &= E(X) + E(Y) \end{aligned}\]

proof $(2.3)$

$E(X) = \mu$ とすると $E(cX) = cE(X) = c\mu$ となる。そして

\[\begin{aligned} Var(cX) &= E \left[ (cX - c\mu)^2 \right] \\ &= E \left\{ \left[c (X - \mu) \right]^2 \right\} \\ &= E \left[ c^2 (X - \mu)^2 \right] \\ &= c^2 E \left[ (X - \mu)^2 \right] \\ &= c^2 E \left[ (X - \mu)^2 \right] \\ &= c^{2}V(X) \end{aligned}\]

参考文献